本书是复变函数专业基础课内容的进一步发展， 共分为9章，包含Cauchy定理的推广、最大模原理、整函数与亚纯函数、共形映射、解析开拓及Riemann曲面初步、调和函数与Dirichlet问题、Γ函数和B函数、椭圆函数、Cauchy型积分。上列最后三项与复变函数的应用有密切联系，其他各项都是专业基础课内容的进一步发展。它们在复变函数论的理论研究和应用中都有重要意义。

本书可作为数学类高年级大学选修课及研究生必修课的参考书， 也可供广大数学工作者和有关科研人员参考。

前辅文
第一章 Cauchy 定理
  1 同伦形式的 Cauchy 定理
   1.1 解析函数沿连续曲线的积分
   1.2 同伦
   1.3 同伦形式的 Cauchy 定理
   1.4 封闭曲线的指标
  2 同调形式的 Cauchy 定理
   2.1 链与闭链
   2.2 同调形式的 Cauchy 定理
  3 局部 Cauchy 定理的推广
   3.1 连续函数沿可求长曲线的积分
   3.2 局部 Cauchy 定理的一种推广
第二章 最大模原理
  1 Lindel"o f--Phragm'e n 定理
   1.1 Lindel"o f 定理
   1.2 Phragm'e n 定理
  2 三圆定理
   2.1 凸函数
   2.2 三圆定理与三直线定理
  3 Schwarz 引理及其应用
   3.1 Schwarz 引理
   3.2 单位圆盘到自身的共形双射
   3.3 用解析函数的实部估计函数的模
第三章 整函数与亚纯函数
  1 无穷乘积hskip 1emrelax 整函数因子分解定理
   1.1 无穷乘积
   1.2 无穷乘积收敛的判别法
   1.3 解析函数项无穷乘积
   1.4 整函数的因子分解定理
  2 Picard 定理
   2.1 Bloch 定理
   2.2 Landau 定理和 Picard 第一定理
   2.3 Schottky 定理和 Picard 第二定理
  3 Runge 定理hskip 1emrelax 亚纯函数部分分式分解定理
   3.1 两个预备定理
   3.2 Runge 定理
   3.3 亚纯函数的部分分式分解定理
第四章 共形映射
  1 解析函数正规族
   1.1 概念及性质
   1.2 正规定则
   1.3 极限函数的性质
  2 Riemann 映射定理
   2.1 一个引理
   2.2 Riemann 定理
   2.3 映射函数的边界性质
  3 多连通区域的映射定理
   3.1 单叶函数类 S
   3.2 多连通区域的共形映射
第五章 解析开拓及 Riemann 曲面初步
  1 解析开拓
   1.1 Schwarz 对称原理
   1.2 幂级数的解析开拓
  2 单值性定理
  3 Riemann 曲面的概念
   3.1 二维流形
   3.2 Riemann 曲面的定义
   3.3 Riemann 曲面的例
   3.4 曲面的基本群
   3.5 覆盖曲面
   3.6 覆盖变换与覆盖变换群
第六章 调和函数与 Dirichlet 问题
  1 调和函数及次调和函数
   1.1 调和函数及其序列
   1.2 次调和函数
  2 Dirichlet 问题与调和测度
   2.1 Dirichlet 问题
   2.2 Green 函数
   2.3 调和测度
第七章 Gamma 函数和 rm B 函数
  1 Gamma 函数
   1.1 Gamma(z) 的积分定义
   1.2 Gamma(z) 的无穷乘积表示
   1.3 Gamma(z) 的线积分表示
   1.4 Stirling 公式
  2 函数 B(z,zeta )
   2.1 复变量 B 函数的定义
   2.2 B 函数和 Gamma 函数的关系
第八章 椭圆函数
  1 定义及一般性质
   1.1 椭圆函数的定义
   1.2 椭圆函数的性质
   1.3 有关二重级数的引理
  2 一些重要的函数
   2.1 函数 wp(z)
   2.2 函数 zeta(z)
   2.3 函数 sigma(z)
  3 椭圆函数所满足的方程
   3.1 wp(z) 所满足的微分方程
   3.2 椭圆函数间的有理关系
  4 一些重要的函数(续)
   4.1 函数 sigma _j(z)
   4.2 Jacobi 椭圆函数
   4.3 准椭圆函数
第九章 Cauchy 型积分
  1 Cauchy 型积分和 Cauchy 主值积分
   1.1 Cauchy 型积分概念
   1.2 Cauchy 主值积分
  2 Plemelj 公式和 Privalov 定理
   2.1 Plemelj 公式
   2.2 分区全纯函数
   2.3 Cauchy 型积分的边值和 Cauchy 主值积分的导数
   2.4 Privalov 定理
  3 高阶奇异积分和推广的留数定理
   3.1 留数定理的直接推广
   3.2 高阶奇异积分
   3.3 推广的留数定理
参考文献
索引
版权

现代数学基础