计算共形几何是丘成桐先生和顾险峰教授共同创立的跨领域学科，将现代几何拓扑理论与计算机科学相融合，将经典微分几何、黎曼面理论、代数拓扑、几何偏微分方程的基本概念、关键定理和思想方法推广到离散情形，转换成计算机算法，并且广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、数字几何处理、计算机网络、计算力学、机械设计以及医学图像等领域。 书中涵盖了前沿的现代几何理论，例如离散曲面Ricci流理论，离散曲面单值化理论等，同时给出了具有巨大应用价值的高效算法，可以直接应用于工程和医疗等领域的科研和产品开发之中。

前辅文
第一章计算共形几何简介
  1.1 理论简介
  1.2 应用简介
第一部分代数拓扑
  第二章基本群的概念
   2.1 基本概念
   2.2 基本群的表示
   2.3 基本群的计算方法
   2.4 一般拓扑空间的基本群
   2.5 覆盖空间的理论
  第三章光滑同伦
   3.1 正则封闭曲线和正则同伦
   3.2 环绕数
   3.3 单位切丛的同伦群
   3.4 球面曲线正则同伦
   3.5 曲面横截相交
   3.6 六面体网格生成
  第四章同调群
   4.1 基本方法
   4.2 单纯同调理论
   4.3 单纯复形和边缘算子
   4.4 单纯同调群
   4.5 同调群的计算
   4.6 伦型不变量
   4.7 环柄圈和隧道圈算法
  第五章上同调理论
   5.1 上同调群的直观解释
   5.2 单纯上同调群
   5.3 上下同调群的对偶
   5.4 外微分的概念
   5.5 de Rham 上同调的概念
   5.6 拉回上同调群同态
   5.7 上同调群的计算
   5.8 Brouwer 不动点定理
   5.9 Lefschetz 不动点定理
   5.10 不动点类理论
   5.11 Poincaré-Hopf 定理
  第六章上同调的Hodge 理论
   6.1 物理解释
   6.2 Hodge 星算子
   6.3 Hodge 理论
   6.4 离散Hodge 理论
  第七章相对同调Mayer-Vietoris 序列
   7.1 相对同调和切除定理
   7.2 约化同调
   7.3 Mayer-Vietoris 序列
   7.4 Jordan-Brouwer 分离定理
第二部分单复变函数的几何理论
  第八章正规函数族
   8.1 正规函数族的概念
   8.2 全纯函数收敛到全纯函数
   8.3 单叶函数收敛到单叶函数
   8.4 Montel 定理
  第九章几何畸变估计
   9.1 全纯函数族
   9.2 Gronwall 面积估计定理
   9.3 Koebe 畸变定理
  第十章Riemann 映射
   10.1 Riemann 映射定理
   10.2 唯一性证明
   10.3 存在性证明
   10.4 Riemann 映射的计算方法
  第十一章拓扑环带的典范共形映射
   11.1 共形映射的存在性和唯一性
   11.2 拓扑环带的全纯微分方法
   11.3 拓扑环带的Ricci 流方法
  第十二章拓扑四边形的极值长度
   12.1 极值长度
   12.2 拓扑环带
   12.3 组合理论
   12.4 拓扑四边形共形模的计算方法
  第十三章多连通区域的狭缝映射
   13.1 狭缝映射的存在性(Hilbert 定理)
   13.2 狭缝映射的全纯微分形式计算方法
  第十四章多连通区域到圆域的共形映射
   14.1 Schwarz 反射原理
   14.2 多重镜像反射
   14.3 圆域映射的唯一性
   14.4 圆域映射的存在性
  第十五章Koebe 迭代算法的收敛性
   15.1 拓扑环带面积周长估计
   15.2 解析延拓
   15.3 误差估计
  第十六章单值化定理的古典证明
   16.1 Liouville 定理
   16.2 新月– 满月引理
   16.3 单值化定理
  第十七章共形几何的概率解释
   17.1 调和测度
   17.2 Brown 运动和共形变换
   17.3 最大双曲圆盘填充
   17.4 组合单值化定理
   17.5 概率解释
第三部分曲面论和几何逼近论
  第十八章曲面论
   18.1 曲面的标架和活动标架法
   18.2 曲面的微分式及其几何
   18.3 曲面的基本不变式
   18.4 Gauss-Bonnet 定理
   18.5 共形形变
   18.6 协变微分
  第十九章离散曲面
   19.1 多面体曲面
   19.2 欧氏Delaunay 三角剖分
   19.3 微分余弦定理
  第二十章几何逼近理论
   20.1 曲率测度
   20.2 管状邻域体积
   20.3 离散法丛
   20.4 不变二次微分式
   20.5 Delaunay 加细算法
   20.6 逼近误差估计
   20.7 离散逼近定理的证明
第四部分调和映射
  第二十一章拓扑圆盘的调和映射
   21.1 调和函数的物理意义
   21.2 调和函数的均值定理
   21.3 调和函数的共形不变性
   21.4 微分同胚性质
  第二十二章拓扑球面的调和映射
   22.1 非线性热流方法
   22.2 调和映射和共形映射的关系
  第二十三章调和映射理论
   23.1 Sobolev 空间的基本概念
   23.2 Cα 正则性理论
   23.3 调和映射的概念
   23.4 Hopf 微分
   23.5 调和映射的存在性
   23.6 调和映射的正则性
   23.7 Bochner 公式
   23.8 调和微分同胚
   23.9 调和映射的唯一性
  第二十四章调和映射的计算方法
第五部分Riemann 面
  第二十五章Riemann 面理论基础
   25.1 Riemann 面
   25.2 覆盖空间
   25.3 Riemann 面上的全纯和亚纯1-形式
   25.4 除子
   25.5 Riemann-Roch 定理
   25.6 亚纯微分
   25.7 全纯1-形式的计算
  第二十六章全纯二次微分
   26.1 全纯1-形式
   26.2 叶状结构
   26.3 广义调和映射
  第二十七章Teichmüller 空间
   27.1 曲面映射类群
   27.2 模空间和Teichmüller 空间
   27.3 Teichmüller 度量
   27.4 拓扑环面的模空间
   27.5 Teichmüller 空间坐标
  第二十八章拟共形映射
   28.1 拟共形映射, Beltrami 系数和伸缩商
   28.2 Beltrami 方程
   28.3 等温坐标
   28.4 从共形结构到Riemann 度量
  第二十九章Teichmüller 映射
   29.1 极值长度的变分
   29.2 最小模原理
   29.3 二次微分诱导的高度
   29.4 Reich-Strebel 不等式
   29.5 Teichmüller 映射的唯一性
   29.6 Teichmüller 存在性定理
   29.7 无穷小平庸Beltrami 微分
   29.8 Teichmüller 映射和调和映射
第六部分双曲几何
  第三十章双曲几何
   30.1 平面双曲几何
   30.2 双曲正弦、余弦定理
   30.3 曲面的双曲结构
   30.4 Thurston 的剪切坐标
   30.5 Penner 的 -长度坐标
  第三十一章双曲多面体
   31.1 双曲理想四面体
   31.2 双曲多面体的体积
   31.3 Shl?fli 体积微分公式
第七部分曲面Ricci 流
  第三十二章连续曲面Ricci 流
   32.1 Yamabe 方程
   32.2 Ricci 流方程
   32.3 Ricci 流解的存在性
   32.4 曲率的先验估计
   32.5 收敛性
  第三十三章离散曲面Ricci 流
   33.1 顶点缩放变换
   33.2 离散熵能量
   33.3 离散熵能量的几何解释
   33.4 离散曲面Ricci 流算法
  第三十四章多面体度量到双曲度量的转换
   34.1 多面体度量到完备双曲度量
   34.2 多面体度量到带装饰的双曲度量
   34.3 带装饰的双曲Delaunay 三角剖分
   34.4 顶点缩放操作对双曲度量的影响
  第三十五章离散曲面Ricci 曲率流解的存在性
   35.1 存在性定理陈述
   35.2 多面体度量的Teichmüller 空间
   35.3 带装饰的双曲度量的Teichmüller 空间
   35.4 完备双曲度量的Teichmüller 空间
   35.5 Teichmüller 空间之间的微分同胚
   35.6 存在性证明
  第三十六章离散曲面曲率流解的收敛性
   36.1 收敛性定理
   36.2 主要技术工具
   36.3 证明框架
  第三十七章双曲Yamabe 流
   37.1 双曲背景几何
   37.2 双曲离散曲面曲率流
   37.3 双曲离散曲率流的应用
  第三十八章通用离散曲面Ricci 流理论
   38.1 通用理论框架
   38.2 相切圆盘填充的构形
   38.3 推广圆盘填充构形
   38.4 离散曲面Ricci 流
   38.5 离散熵能量的几何解释
   38.6 逆向距离的几何解释
   38.7 Hesse 矩阵的几何解释
   38.8 双曲正弦、余弦定理
参考文献
名词索引
视频索引
算法演示

顾险峰，纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授，帝国创新冠名教授，哈佛大学数学科学与应用中心客座教授，清华大学丘成桐数学科学中心客座教授。师从丘成桐教授在哈佛大学获得计算机博士学位。共同创立“计算共形几何”学科，将其广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、几何建模、无线传感器网络和医学影像等领域。创办“老顾谈几何”公众号，讲解现代拓扑几何理论及其计算方法和实际应用。

丘成桐，当代数学大师，哈佛大学讲座教授，1971年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位。发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的变革。解决了Calabi猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。

• 兼顾理论和算法：将分析、代数、几何的方法有机结合，从初等的直观概念开始，以现代的深刻理论为目的，到切实的算法结束，详尽介绍知识结构、逻辑脉络和工程经验。
• 以战养战：在讲解抽象概念和理论后引入实际应用，帮助读者深刻理解现代几何思想的精髓。
• 直观易懂：书中配有大量的插图、视频和演示程序，通过激发其几何直觉，使读者迅速掌握抽象概念的要义。
• 独创前沿：近三分之一内容源自作者近年来的研究成果。

序言

在日常生活中, 我们看到的事物一般都是由曲面表示出来, 它代表的可以是汽车或房屋的表面, 也可以是人脸或河流的表面, 所以它描绘的对象有时是静态的, 有时是动态的! 当我们描述一组曲面时, 往往可以用它来描述立体的形象.

现代科技需要大量薄膜学的知识, 因此如何精准描绘二维曲面是工程学不可缺少的学问.

二维曲面的研究可以追溯到伟大的科学家 Euler, 他与 Newton 同一个时代. 他利用微积分来解释几何学, 也创造了变分法来计算一些重要的几何图形. Euler 是继 Newton 之后的第一位伟大学者, 他们的学问让人

类可以处理三维空间中的曲面问题. 虽然 Euler 写下了一个高深而影响至巨的 Euler 等式:

exp(ix) = cos x + i sin x;

但是 Newton 和 Euler 对复数的应用还是不够成熟, 未能自成一门学问.

复分析因19 世纪初期Cauchy 的重要工作才真正开始, Riemann 在1850 年接触到Cauchy 的工作后, 即刻知道复分析的重要性, 他引用了几种不同的想法来发展复分析. 一个是微分方程和变分的办法, 另一个是几何的办法.

Riemann 的一个划时代的贡献就是他提出了Riemann 面, 并且引进了单值化的观念: 这不单单澄清了复变函数多值化的问题, 也帮助我们了解曲面保角(共形) 的内在意义. 他发现虽然曲面表示在三维空间中有无限维的自由度出现, 但是它们的保角结构却是有限维的! 假如将一个曲面上所有的保角结构放在一起, 我们就构造了一个模空间, Riemann 已经知道这个模空间本身是一个复空间, 它的复维数是3g - 3 , 其中g 是曲面的拓扑亏格. 这是一件很重要的事情, 既然是有限维, 我们就可以将所有保角结构构造出来. 一般来说, 可以通过计算一些函数的积分来处理, 每个曲面上的保角结构可以由一个 g 阶复矩阵来决定, 这个矩阵的元素就是由上述的积分得出的. 计算机当然可以处理这个矩阵.

有了保角结构以后, 所有曲面上的内蕴几何都可以由曲面上的一个函数来描述, 至于在空间的变化, 需要多加一个函数. 但是有了这些步骤以后, 在处理曲面的几何时就可以系统化, 就如在字典中找文字一样, 无论存储和计算图形都会比其他方法方便得多.

Riemann 的方法经过代数几何学家用几何不变量理论和投影几何的方法改进, 已经成为一个很成熟的理论, 但是要详细计算的话, 还是需要下一些功夫.

对 Riemann 面的处理, 在 Riemann 之后又产生了几种不同方向的理论和方法.

一个是从 Klein 开始、由Poincaré 发扬光大的离散群的方法. 每一个亏格大于1 的 Riemann 面都可看作 Poincaré 平面通过离散群作用的商空间. 我们可以通过扰动离散群而得到 Riemann 面保角结构的变化.

另外一个方法由 Poincaré 提供, 他通过保角变化, 使得一个在 Riemann 面上构造的保形 Riemann 度量的曲率变成 1, 这 样 Riemann 面就可以看作 Poincaré 平面的商空间. 后来, 我们也可以用 Ricci 流的方式得到同样的结果.

有了这些理论之后, 我们可以研究不同的共形结构如何放在一起形成所谓的模空间, 我们也可以在模空间上构造一个度量来量度不同共形结构的距离.

在 20 世纪初期, Teichmüller 提出用拟共形映射来计算共形结构距离,由此完成以他名字命名的模空间.

在四十多年前, 我和朋友们就开始用调和映射来代替拟共形映射, 而 Thurston 则研究由二次全纯微分形式产生的叶状结构. Thurston 也开始用圆盘填充(circle packing) 方法来处理单值化的问题.

这一系列的理念原则上都可以用计算机计算, 同时可以用到具体的曲面上去. 至于从具体的曲面(例如人脸) 变成上述的 Riemann 面, 要处理它们产生的点集, 以及对它们做三角剖分, 这些都需要一些技巧.

二十年前险峰跟我念博士时, 我就希望整合计算的方法来将这些古典和近代的 Riemann 面理论具体表现出来, 这样就可以系统地处理自然界出现的一切曲面了.

本书总结了二十年的努力, 完成了上述整体纲领的一部分, 但已经有不少具体的应用(尤其在医学的图像处理方面), 希望将来继续用计算的方法显示出 Riemann 面的其他结构.

丘　成　桐

2020 年4 月