前辅文
第7 章赋范向量空间中的微分学
引言
7.1 Fréchet 导数; 链式法则; Piola 恒等式; 对实值函数极值的应用
7.2 赋范向量空间中的中值定理; 第一个应用
7.3 中值定理的应用: 可微函数序列极限的可微性
7.4 中值定理的应用: 由积分定义函数的可微性
7.5 中值定理的应用: Sard 定理
7.6 取值于Banach 空间的C1 类函数的中值定理
7.7 解非线性方程的Newton 方法; Banach 空间中的Newton-Kantorovich 定理
7.8 高阶导数; Schwarz 引理
7.9 Taylor 公式; 对实值函数极值的应用
7.10 应用: 二阶线性椭圆算子的极大值原理
7.11 应用: Rn 中的Lagrange 插值公式和多点Taylor 公式
7.12 凸函数及可微性; 对实值函数极值的应用
7.13 隐函数定理; 第一个应用: 映射A → A−1 属于C∞ 类
7.14 局部反演定理; Banach 空间中关于C1 类映射的区域不变性定理;映射A → A12 属于C∞ 类
7.15 实值函数的约束极值; Lagrange 乘子
7.16 Lagrange 函数及鞍点; 原始和对偶问题
第8 章Rn 中的微分几何
引言
8.1 Rn 的开子集中的曲线坐标
8.2 度量张量; 在曲线坐标下的体积和长度
8.3 向量场的共变导数
8.4 张量简介
8.5 度量张量满足的必要条件; Riemann 曲率张量
8.6 具有指定度量张量的Rn 开子集上浸入的存在性;Riemann 几何的基本定理
8.7 具有同一度量张量的浸入在相差一等距意义下的唯一性;Rn 中开子集的刚性定理
8.8 R3 中曲面上的曲线坐标
8.9 曲面的第一基本形式; 曲面上的面积, 长度和角度
8.10 等距, 等积及保形曲面
8.11 曲面的第二基本形式; 曲面上的曲率
8.12 主曲率; Gauss 曲率
8.13 定义在曲面上向量场的共变导数; Gauss 公式和Weingarten 公式
8.14 第一和第二基本形式满足的必要条件: Gauss 方程和Codazzi-Mainardi 方程
8.15 Gauss 绝妙定理; 在制图学上的应用
8.16 具有指定第一和第二基本形式的曲面的存在性; 曲面基本定理
8.17 具有相同基本形式的曲面的唯一性; 曲面的刚性定理
第9 章非线性泛函分析的重要定理
引言
9.1 作为与泛函极小化相关的Euler-Lagrange 方程的非线性偏微分方程
9.2 凸函数和在R ∪ {∞} 中取值的序列下半连续函数
9.3 强制序列弱下半连续泛函极小化子的存在性
9.4 对von Kármán 方程的应用
9.5 在W1,p(Ω) 中的极小化子的存在性
9.6 对p-Laplace 算子的应用
9.7 多凸性; 补偿紧性; 非线性弹性中的John Ball 存在定理
9.8 Ekeland 变分原理; 满足Palais-Smale 条件的泛函极小化子的存在性
9.9 Brouwer 不动点定理—— 第一个证明
9.10 Brouwer 定理的应用: 借助Galerkin 方法求解von Kármán 方程
9.11 Brouwer 定理的应用: 借助Galerkin 方法求解Navier-Stokes 方程
9.12 Schauder 不动点定理; Schäfer 不动点定理;Leray-Schauder 不动点定理
9.13 单调算子
9.14 单调算子的Minty-Browder 定理; 对p-Laplace 算子的应用
9.15 Rn 中的Brouwer 拓扑度: 定义和性质
9.16 Brouwer 不动点定理—— 第二个证明; 毛球定理
9.17 Borsuk 定理及Borsuk-Ulam 定理; Brouwer 区域不变性定理
文献注释
参考文献
主要符号
名词索引
