本书根据作者多年来的教学实践修订而成，大体保持第二版教材取材的范围、结构和深度。全书共分七章，第一、二、三章分别介绍波动方程、热传导方程和调和方程的基本定解问题的适定性、求解方法及解的性质。在此基础上，第四、五、六、七章分别介绍二阶线性偏微分方程的分类与总结、一阶偏微分方程组、广义解与广义函数解、偏微分方程的数值解等。为了便于读者掌握这些内容，每节后都安排了一定数量的习题，供读者进行练习。

本书可作为高等学校数学类专业本科生数学物理方程课程的教材或教学参考书。

前辅文
引言
第一章波动方程
  §1方程的导出、定解条件
   1. 弦振动方程的导出
   2. 定解条件
   3. 定解问题适定性概念
   习题
  §2达朗贝尔公式、波的传播
   1. 叠加原理
   2. 弦振动方程的达朗贝尔解法
   3. 传播波
   4. 依赖区间、决定区域和影响区域
   5. 齐次化原理
   习题
  §3初边值问题的分离变量法
   1. 分离变量法
   2. 解的物理意义
   3. 非齐次方程的情形
   4. 非齐次边界条件的情形
   习题
  §4高维波动方程的柯西问题
   1. 膜振动方程的导出
   2. 定解条件的提法
   3. 球平均法
   4. 降维法
   5. 非齐次波动方程柯西问题的解
   习题
  §5波的传播与衰减
   1. 依赖区域、决定区域和影响区域
   2. 惠更斯(Huygens)原理、波的弥散
   3. 波动方程解的衰减
   习题
  §6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
   1. 振动的动能和位能
   2. 初边值问题解的唯一性与稳定性
   3. 柯西问题解
   的唯一性与稳定性
   习题
第二章热传导方程
  §1热传导方程及其定解问题的导出
   1. 热传导方程的导出
   2. 定解问题的提法
   3. 扩散方程
   习题
  §2初边值问题的分离变量法
   1. 一个空间变量的情形
   2*. 圆形区域上的热传导问题
   习题
  §3柯西问题
   1. 傅里叶变换及其基本性质
   2. 热传导方程柯西问题的求解
   3. 解的存在性
   习题
  §4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性
   1. 极值原理
   2. 初边值问题解的唯一性和稳定性
   3. 柯西问题解的唯一性和稳定性
   习题
  §5解的渐近性态
   1. 初边值问题解的渐近性态
   2. 柯西问题解的渐近性态
   习题
第三章调和方程
  §1建立方程、定解条件
   1. 方程的导出
   2. 定解条件和定解问题
   3. 变分原理
   习题
  §2格林公式及其应用
   1. 格林公式
   2. 平均值定理
   3. 极值原理
   4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
   习题
  §3格林函数
   1. 格林函数及其性质
   2. 静电源像法
   3. 解的验证
   4*单连通区域的格林函数(90)
   5. 调和函数的基本性质
   习题
  §4强极值原理、第二边值问题解的唯一性
   1. 强极值原理
   2. 第二边值问题解的唯一性
   3. 用能量积分法证明边值问题的解的唯一性
   习题
第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结
  §1二阶线性方程的分类
   1. 两个自变量的方程
   2. 两个自变量的二阶线性方程的化简
   3. 方程的分类
   4. 例
   5*. 多个自变量的方程的分类
   习题
  §2二阶线性方程的特征理论
   1. 特征概念
   2. 特征方程
   3. 例
   习题
  §3三类方程的比较
   1. 线性方程的叠加原理
   2. 解的性质的比较
   3. 定解问题提法的比较
   习题
  §4先验估计
   1. 椭圆型方程解的最大模估计
   2. 热传导方程解的最大模估计
   3. 双曲型方程解的能量估计
   4. 抛物型方程解的能量估计
   5. 椭圆型方程解的能量估计
   习题
第五章一阶偏微分方程组
  §1引言
   1. 一阶偏微分方程组的例子
   2. 一阶方程组与高阶方程的关系
   习题
  §2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论
   1. 特征方程、特征线
   2. 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类
   3. 将严格双曲型方程组化为对角型
   习题
  §3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题
   1. 化为积分方程组
   2. 柯西问题解的存在性与唯一性
   3. 对初始条件的连续依赖性
   4. 依赖区间、决定区域和影响区域
   5*. 关于柯西问题提法正确性的附注
   习题
  §4两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题
   1. 广义柯西问题
   2. 古尔萨（Goursat)问题
   3. 一般角状区域上的边值问题
   习题
  §5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅(Cauchy Ковалевская)定理
   1. 幂级数解法
   2*. 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理
   习题
第六章广义解与广义函数解
  §1广义解
   1. 研究广义解的必要性
   2. 强解
   3. 弱解
   习题
  §2广义函数的概念
   1. 广义函数的物理背景
   2. 广义函数的数学概念
   3. 基本函数空间
   4. D′ (Rn)，S′(Rn)，E′ (Rn)广义函数(162)习题
  §3广义函数的性质与运算
   1. 广义函数的极限
   2. 广义函数的导数
   3. 广义函数的乘子
   4. 广义函数的卷积
   习题
  §4广义函数的傅里叶变换
   1. S (Rn)上的傅里叶变换
   2. S′ (Rn)上的傅里叶变换
   习题
  §5基本解
   1. 柯西问题的基本解
   2. 调和方程的基本解
   3. 其它类型的基本解
   习题
第七章偏微分方程的数值解
  §1调和方程狄利克雷问题的数值解
   1. 有限差分法
   2. 元体平衡法
   3. 有限元素法(里茨(Ritz)法)
   4. 有限元素法(伽辽金(Галёркин)法)
   习题
  §2热传导方程的差分法
   1. 一维热传导方程的显式差分格式
   2. 差分格式的收敛性和稳定性
   3. 隐式格式及其稳定性
   习题
  §3波动方程的差分法
   1. 波动方程初边值问题的差分格式
   2. CFL条件(柯朗-弗里德里希斯-
   勒维（Courant-Friedrichs-Lewy）条件)
   习题
附录Ⅰ傅里叶级数系数的估计
附录Ⅱ张紧薄膜的张力为常值的证明
附录Ⅲ特殊函数

“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材

本书为高等学校数学类专业数学物理方程课程的学习辅导书，其深度与数学物理方程的课程相当。作者根据多年的教学实践，分二十讲对学生在学习过程常遇到的疑问作了阐述与解答，也提出了一些值得进一步思考的问题。为帮助学生能有更多的练习与思考，在本书中还提供了一定数量的例题与各种类型的习题。主要内容包括第一讲“导引”、第二讲“弦振动方程与定解条件的导出”、第三讲“达朗贝尔公式及其应用”、第四讲“分离变量法”、第五讲“高维波动方程的球平均法”、第六讲“波的传播”、第七讲“能量不等式”、第八讲“热传导方程的导出”、第九讲“再谈分离变量法”、第十讲“热传导方程柯西问题与傅里叶变换”、第十一讲“极值原理”、第十二讲“解的渐近性态”、第十三讲“调和方程及其边值问题”、第十四讲“调和函数与平均值定理”、第十五讲“格林函数法”、第十六讲“调和函数的性质”、第十七讲“强极值原理”、第十八讲“二阶线性偏微分方程的分类”、第十九讲“二阶线性偏微分方程的特征理论”、第二十讲“三类方程的比较与总结”等二十讲。

前言
第一讲 导引
第二讲 弦振动方程与定解条件的导出
第三讲 达朗贝尔公式及其应用
第四讲 分离变量法
第五讲 高维波动方程的球平均法
第六讲 波的传播
第七讲 能量不等式
第八讲 热传导方程的导出
第九讲 再谈分离变量法
第十讲 热传导方程的柯西问题与傅里叶变换
第十一讲 极值原理
第十二讲 解的渐近性态
第十三讲 调和方程及其边值问题
第十四讲 调和函数与平均值定理
第十五讲 格林函数法
第十六讲 调和函数的性质
第十七讲 强极值原理
第十八讲 二阶线性偏微分方程的分类
第十九讲 二阶线性偏微分方程的特征理论
第二十讲 三类方程的比较与总结
参考文献
版权