本书主要阐述二阶拟线性椭圆型偏微分方程的一般理论以及为此而必需的线性理论，着重于有界区域上的Dirichlet问题。书中的内容源于作者在斯坦福大学为研究生课程所写的讲义，但大大超出了这些课程的范围，并包括了位势理论、泛函分析等预备性章节；第二版修订版增加了Nikolai Krylov的导数Hölder估计的相关内容,  这一估计提供了椭圆型 (和抛物型) 高维完全非线性方程的古典理论进一步发展的基本要素。

本书是一本自封闭的严谨的教学参考书，适合相关专业的研究生和高年级本科生阅读，也可供其他科技工作人员参考。

前辅文
第1章 引论
  概要
第一部分 线性方程
  第2章 Laplace 方程
   2.1 平均值不等式
   2.2 最大值和最小值原理
   2.3 Harnack 不等式
   2.4 Green 表示
   2.5 Poisson 积分
   2.6 收敛性定理
   2.7 导数的内估计
   2.8 Dirichlet 问题; 下调和函数方法
   2.9 容量
   习题
  第3章 古典最大值原理
   3.1 弱最大值原理
   3.2 强最大值原理
   3.3 先验的界
   3.4 Poisson 方程的梯度估计
   3.5 Harnack 不等式
   3.6 散度形式的算子
   评注
   习题
  第4章 Poisson 方程和Newton 位势
   4.1 Holder 连续性
   4.2 Poisson 方程的Dirichlet 问题
   4.3 二阶导数的Holder 估计
   4.4 在边界上的估计
   4.5 一阶导数的Holder 估计
   评注
   习题
  第5章 Banach 空间和Hilbert 空间
   5.1 压缩映象原理
   5.2 连续性方法
   5.3 Fredholm 二择一性质
   5.4 对偶空间和共轭
   5.5 Hilbert 空间
   5.6 投影定理
   5.7 Riesz 表示定理
   5.8 Lax-Milgram 定理
   5.9 Hilbert 空间中的Fredholm 二择一性质
   5.10 弱紧性
   评注
   习题
  第6章 古典解; Schauder 方法
   6.1 Schauder 内估计
   6.2 边界估计和全局估计
   6.3 Dirichlet 问题
   6.4 内部正则性和边界正则性
   6.5 另一种方法
   6.6 非一致椭圆型方程
   6.7 其他边界条件; 斜导数问题
   6.8 附录1: 内插不等式
   6.9 附录2: 延拓引理
   评注
   习题
  第7章 Sobolev 空间
   7.1 L^p 空间
   7.2 正则化和用光滑函数逼近
   7.3 弱导数
   7.4 链式法则
   7.5 W^{k,p 空间
   7.6 稠密性定理
   7.7 嵌入定理
   7.8 位势估计和嵌入定理
   7.9 Morrey 和John-Nirenberg 估计
   7.10 紧性结果
   7.11 差商
   7.12 延拓和内插
   评注
   习题
  第8章 广义解和正则性
   8.1 弱最大值原理
   8.2 Dirichlet 问题的可解性
   8.3 弱解的可微性
   8.4 全局正则性
   8.5 弱解的全局有界性
   8.6 弱解的局部性质
   8.7 强最大值原理
   8.8 Harnack 不等式
   8.9 Holder 连续性
   8.10 在边界处的局部估计
   8.11 一阶导数的Holder 估计
   8.12 特征值问题
   评注
   习题
  第9章 强解
   9.1 强解的最大值原理
   9.2 L^p 估计: 初步分析
   9.3 Marcinkiewicz 内插定理
   9.4 Calderon-Zygmund 不等式
   9.5 L^p估计
   9.6 Dirichlet 问题
   9.7 一个局部最大值原理
   9.8 Holder 和Harnack 估计
   9.9 在边界上的局部估计
   评注
   习题
第二部分 拟线性方程
  第10章 最大值原理和比较原理
   10.1 比较原理
   10.2 最大值原理
   10.3 一个反例
   10.4 散度形式算子的比较原理
   10.5 散度形式算子的最大值原理
   评注
   习题
  第11章 拓扑不动点定理及其应用
   11.1 Schauder 不动点定理
   11.2 Leray-Schauder 定理: 一个特殊情形
   11.3 一个应用
   11.4 Leray-Schauder 不动点定理
   11.5 变分问题
   评注
  第12章 两个变量的方程
   12.1 拟保角映射
   12.2 线性方程梯度的Holder 估计
   12.3 一致椭圆型方程的Dirichlet 问题
   12.4 非一致椭圆型方程
   评注
   习题
  第13章 梯度的Holder 估计
   13.1 散度形式的方程
   13.2 两个变量的方程
   13.3 一般形式的方程; 内估计
   13.4 一般形式的方程; 边界估计
   13.5 对Dirichlet 问题的应用
   评注
   习题
  第14章 边界梯度估计
   14.1 一般区域
   14.2 凸区域
   14.3 边界曲率条件
   14.4 非存在性结果
   14.5 连续性估计
   14.6 附录: 边界曲率和距离函数
   评注
   习题
  第15章 梯度的内部和全局内估计
   15.1 梯度的最大值原理
   15.2 一般情形
   15.3 梯度的内估计
   15.4 散度形式的方程
   15.5 存在定理选讲
   15.6 连续边值的存在定理
   评注
   习题
  第16章 平均曲率型方程
   16.1 mathbb{R ^{n+1 中的超曲面
   16.2 梯度的内估计
   16.3 在Dirichlet 问题中的应用
   16.4 两个自变量的方程
   16.5 拟保角映射
   16.6 具有拟保角Gauss 映射的图像
   16.7 对平均曲率型方程的应用
   16.8 附录: 椭圆型参数泛函
   评注
   习题
  第17章 完全非线性方程
   17.1 最大值原理和比较原理
   17.2 连续性方法
   17.3 两个变量的方程
   17.4 对于二阶导数的Holder 估计
   17.5 一致椭圆型方程的Dirichlet 问题
   17.6 Monge-Amp`{e re 方程的二阶导数估计
   17.7 Monge-Amp`{e re 型方程的Dirichlet 问题
   17.8 二阶导数全局Holder 估计
   17.9 非线性边值问题
   评注
   习题
参考书目
后记
内容索引
记号索引

David Gilbarg

    David Gilbarg 1918年生于美国纽约，并且在那里接受教育直至大学毕业。1941年，他在印第安纳大学获得博士学位。在第二次世界大战期间，他在流体力学领域工作，战后，他主要活跃于关于自由边界的流体的研究。1946—1957年，他任职于印第安纳大学数学系；从1957年开始，服务于斯坦福大学。他的主要研究领域和学术贡献是数学流体力学和椭圆型偏微分方程理论。

Neil S. Trudinger

    Neil S. Trudinger 1942年生于澳大利亚。在澳大利亚念完中学和大学后，他于1966年在斯坦福大学获得博士学位。从1973年开始，他成为位于堪培拉的澳大利亚国立大学数学教授。他的主要研究领域和学术贡献，除了主要致力于非线性椭圆型偏微分方程外，还遍及几何、泛函分析和计算数学。他还是澳大利亚数学会和伦敦皇家学会的会员。