前辅文
第一章 集合论
0 逻辑推理
1 逻辑完美的构思
2 数学的真实语言
3 初等逻辑运算
4 公理和定理
5 逻辑公理和重言式
6 关系中的代换
7 量词
8 量词使用规则
9 Hilbert 运算, 组成准则
习题
1 相等和属于关系
1 相等关系
2 属于关系
3 一个集合的子集
4 空集
5 一个和两个元素的集合
6 一个给定集合的子集的集合
习题
2 函数概念
1 序偶
2 两个集合的笛卡儿乘积
3 图像和函数
4 像和逆像
5 函数的限制和延拓
6 复合映射
7 单射
8 满射和双射
9 多变量函数
习题
3 并集和交集
1 两个集合的并集和交集
2 一族集合的并集
3 一族集合的交集
习题
4 等价关系
1 等价关系
2 集合关于一个等价关系的商集
3 定义在商集上的函数
习题
5 有限集和自然数
1 等势集
2 集合的基数
3 基数的运算
4 有限集和自然数
5 自然数集合 ${f N $
6 数学归纳法推理
7 组合分析
8 有理整数
9 有理数
习题
第二章 群, 环, 域
6 运算
1 运算, 结合性和交换性
2 可对称元
7 群的概念
1 群的定义, 例子
2 群的直积
3 群的子群
4 子群的交, 生成元
5 置换和对换
6 陪集
7 $n$ 个对象的置换数
8 群的同态
9 同态的核与像
10 应用到循环群
11 作用在一个集合上的群
习题
8 环和域
1 环的定义, 例子
2 整环和域
3 模 $p$ 整数环
4 二项式公式
5 和的乘积展开
6 环的同态
习题
9 复数
1 平方根
2 预备知识
3 环
4 二次扩张的可逆元
5 交换域的情形
6 复数的几何表示
7 三角函数的乘法公式
习题
第三章 环上的模
10 模和向量空间
1 环上的模的定义
2 模的例子
3 子模, 向量子空间
4 右模和左模
11 模内的线性关系
1 线性组合
2 有限生成模
3 线性关系
4 自由模, 基
5 无穷线性组合
习题
12 线性映射, 矩阵
1 同态的定义
2 从有限生成自由模到任意模内的同态
3 同态和矩阵
4 同态和矩阵的例子
13 同态和矩阵的加法
1 加法群
2 矩阵的加法
14 矩阵的乘积
1 模的自同态环
2 两个矩阵的乘积
3 矩阵环
4 同态的矩阵表示
习题
15 逆矩阵和基的变换
1 模的自同构群
2 群
3 例子: 群
4 基的变换: 过渡矩阵
5 基的变换对于一个同态的矩阵的影响
15 习题
16 线性映射的转置
1 模的对偶
2 有限生成自由模的对偶
3 模的二次对偶
4 同态的转置
5 矩阵的转置
习题
17 子模的和
1 两个子模的和
2 模的直积
3 子模的直和
4 直和与投影
习题
第四章 有限维向量空间
18 有限性定理
1 其核与像均为有限生成的同态
2 Noether 环上的有限生成模
3 主理想整环上的自由模的子模
4 应用到线性方程组
5 Noether 环的其他特征
18 习题
19 维数概念
1 基的存在性
2 由线性方程组定义向量子空间
3 线性方程组相容性条件
4 线性关系的存在性
5 维数概念
6 基和维数的特征
7 同态的核与像的维数
8 同态、向量族和矩阵的秩
9 矩阵的秩的计算
10 从其方程计算向量子空间的维数
习题
20 线性方程组
1 记号和术语
2 线性方程组的秩, 解的存在性条件
3 相伴齐次方程组
4 Cramer 方程组
5 线性无关的方程组: 化简为 Cramer 方程组
习题
第五章 行列式
21 多重线性函数
1 多重线性映射的定义
2 多重线性映射的张量积
3 几个代数等式
4 有限生成自由模的情形
5 基的变换对于张量分量的影响
21 习题
22 交错双线性和三重线性映射
1 交错双线性映射
2 有限生成自由模的情形
3 交错三重线性映射
4 关于一个基的展开
22 习题
23 交错多重线性映射
1 置换的表示
2 多变量函数的反对称化
3 交错多重线性映射
4 在同构于的模上的交错重线性函数
5 向量组、 矩阵和自同态的行列式
6 有限维向量空间基的特征
7 交错多重线性映射: 一般情形
8 线性无关性的判别法
9 线性方程组的相容性条件
23 习题
24 行列式
1 行列式的基本性质
2 行列式按一行或一列的展开
3 伴随矩阵
4 Cramer 公式
24 习题
25 仿射空间
1 平移向量空间
2 与一个向量空间相伴的仿射空间
3 仿射空间内的重心
4 仿射空间内的线性流形
5 由直线生成线性流形
6 有限维仿射空间, 仿射基
7 线性流形维数的计算
8 仿射坐标下线性流形的方程
第六章 多项式和代数方程
26 代数关系
1 环的元素上的单项式和多项式
2 代数关系
3 交换域的情形
26 习题
27 多项式环
1 一个未定元情形的预备知识
2 一个未定元的多项式
3 多项式记号
4 多个未定元的多项式
5 偏次数和总次数
6 系数在一个整环内的多项式
28 多项式函数
1 多项式的值
2 多项式函数的和与乘积
3 无限域的情形
习题
29 有理分式
1 整环的分式域: 预备知识
2 分式域的构造
3 域的公理的验证
4 环 ${m K $ 嵌入到它的分式域
5 系数在一个域内的有理分式
6 有理分式的值
9 习题
30 导子和 Taylor 公式
1 环的导子
2 多项式环的导子
3 偏导子
4 复合函数的导子
5 Taylor 公式
6 交换域的特征
7 方程根的重数
习题
31 主理想整环
1 最大公因子
2 互素元素
3 最小公倍
4 素因子的存在性
5 素元的性质
6 素因子分解的唯一性
7 借助素因子分解求最大公因子和最小公倍
8 主理想整环上的分式的部分分式分解
31 习题
32 多项式除法
1 一个未定元的多项式除法
2 一个未定元的多项式环中的理想
3 几个多项式的最大公因式和最小公倍式
4 应用到有理分式
32 习题
33 代数方程的根
1 根的最大数目
2 代数闭域
3 系数在代数闭域内的方程根的数目
4 系数在代数闭域内的不可约多项式
5 实系数不可约多项式
6 方程的根与系数的关系
33 习题
第七章 矩阵的化简
34 特征值
1 特征向量和特征值的定义
2 矩阵的特征多项式
3 特征多项式的形式
4 特征值的存在性
5 化成三角矩阵
6 特征值都是单特征值的情形
7 可对角化的自同态的特征
34 习题
35 矩阵的典范形式
1 Hamilton-Cayley 定理
2 幂零自同态分解
3 幂零自同态的结构
4 Jordan 定理
35 习题
36 Hermit 型
1 半双线性型, Hermit 型
2 非退化型
3 同态的伴随同态
4 关于非退化 Hermit 型的正交性
5 正交基
6 规范正交基
7 Hermit 型的自同构
8 正定 Hermit 型的自同构: 化成对角形
9 迷向向量和不定型
10 Cauchy-Schwarz 不等式
习题
参考文献
记号索引
术语索引
