前辅文
第一章 集合
0.引言
1.集A与B, 使A°∪B° ≠(A∪B)°
2.集A与B, 使A∩B≠A∩overlineB
3.集序列An,使cap ∞ _n=1A°_n≠(cap ∞_n=1A_n)°
4.集序列An, 使overline∪ ∞_n=1A_n≠∪ ∞_n=1A_n
5.集A与B, 使(AcapB)'≠A'capB'
6.集序列A_n, 使(∪ ∞_n=1A_n)'≠∪ ∞_n=1A'_n
7.使(overlineF° )≠F 的闭集F
8.使(overlineG)° ≠G 的开集G
9.集A,B与映射f, 使得f(AcapB)≠f(A)capf(B)
10.集A,B与映射f, 使BsubsetA 而f(AsetminusB)≠f(A)setminus f(B)
11.f(A)subsetf(B)不蕴涵AsubsetB 的映射f
12.不闭的F_σ 型集
13.不开的G_delta 型集
14.一个不可数的实数集, 它的每个闭子集都是可数的
15.直线上的仅由边界点所组成的不可数集
16.直线上的一个离散子集, 它的闭包是一个不可数集
17.一个正实数无穷集E, 对于它, 不存在α>0,使Ecap (α,+∞ )是无穷集
18.一个集, 它的直到n-1阶导集非空, 而n阶导集是空集
19.集E, 它的各阶导集E',E'',cdots ,E(n),cdots 两两相异, 且cap ∞_n=1E(n)=?
20.集A,它的各阶导集A',A'',cdots ,A(n),cdots 两两相异, 且cap ∞_n=1A(n)≠?
21.集S和开集G_k,k=1,2,cdots ,使G_k在S中稠密,而cap ∞_k=1G_k在S中不稠密
22.直线上的两个不相交的处处稠密的不可数集
23.直线上的一列两两不相交的处处稠密的可数集
24.直线上的一列两两不相交的处处稠密的不可数集
25.直线上的一个处处稠密的渐缩集序列E_n,满足cap ∞_n=1E_n=?
26.一个渐缩的非空有界开集序列, 其交是空集
27.一个渐缩的无界闭集序列, 其交是空集
28.一个紧集, 它的导集是可数集
29.两个完备集, 其交不是完备集
30.可数个完备集, 其并不是完备集
31.完备的疏集
32.无理数的完备疏集
33.一个疏集序列, 其并是稠密集
34.两个不相交的疏集, 其中任一集的每个点都是另一集的聚点
35.一个第二纲的集, 它的余集不是第一纲的集
36.一个有界闭集被诸闭区间覆盖而不能从中取出有限子覆盖
37.[0,1]中的两个不相交的稠密集A与B, 满足[0,1]=A∪B,且对任何α,β (0≤α0,但f在包含点x_0的任何开区间内都不是单调的
23.函数f, 使f(x)与overlinef(x)=lim_hrightarrow 0[f(x+h)-f(x-h)]/(2h)在x=x_0都连续而f'(x_0)并不存在
24.一个可微函数f,当x为有理数时,f(x)为有理数, 而f'(x)为无理数
25.(0,1)上的一个可微函数f, 使lim_xrightarrow 0+f(x)=∞ ,但lim_xrightarrow 0+f'(x)=∞ 并不成立
26.(0,1)上的一个可微函数f, 使f在(0,1)上有界而f'在(0,1)上无界
27.在已知点a_1,a_2,cdots ,a_n 没有导数的连续函数
28.在无理点可微而在有理点不可微的连续函数
29.处处连续而无处可微的函数
30.处处连续而仅在一点可微的函数
31.任给G_delta 型的可数集E, 可构造非减函数f, 其导数满足条件:f'(x)=∞ (xin E),f'(x)=0(xoverlinein E)
32.无处存在单侧导数 (有限或无穷) 的连续函数
33.[0,1]上的一个无穷可微函数f, 使x:f(x)=0 为不可数的疏集
34.函数f, 使fin Hα[a,b],而foverlinein Hβ [a,b],00)上f(x)是无界、非负连续函数
27.一个有理函数R, 使对任何在(-∞ ,+∞ )上广义(R)可积函数f, 都有intop nolimits +∞ _-∞ f[R(x)]dx=intop nolimits +∞ _-∞ f(x)dx
28.Cauchy 主值为有限的发散广义积分
第五章 无穷级数
0.引言
1.一个收敛级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1a2_n发散
2.一个发散的正项级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1a2_n收敛
3.一个发散级数sum∞_n=1a_n,使对每一kgeqslant 2,级数sum∞_n=2a_kn 都收敛
4.一个收敛的正项级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1sqrta_n/sqrtn 发散
5.一个发散级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1(a_2n-1+a_2n)收敛
6.级数sum∞_n=1a_n收敛且lim_nrightarrow ∞ b_n/a_n=1,而级数sum∞_n=1b_n却发散
7.任给一个发散的正项级数sum∞_n=1a_n,可以找到一个收敛于零的正数序列c_n,使sum∞_n=1c_na_n仍然发散
8.任给一个收敛的正项级数sum∞_n=1a_n,可以找到一个收敛于零的正数序列c_n,使sum∞_n=1a_n/c_n仍然收敛
9.给定使mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ b_n=0的正数序列B_n,有一个正项发散级数sum∞_n=1a_n,适合lim_n-x_0a_n=0且mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ a_n/b_n=
10.给定使mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ b_n=0的正数序列B_n,有一个正项收敛级数sum∞_n=1a_n,适合mathopmathchoice@@overlinehboxdisplaystyle ∞ a_n/b_n=+∞
11.给定一个满足mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ c_n=0的正数序列c_n,有一个正项收敛级数sum∞_n=1a_n和一个正项发散级数sum∞_n=1b_n,能使a_n/b_n=c_n
12.任给正数s,可以找到一个正项级数sum∞_n=1a_n,使对任何正数σ (00且intop nolimits 1_0f(x)dx=+∞ 的递增连续函数f,使对任何具有非负系数的幂级数P,若P(x)≤ f(x),则intop nolimits 1_0P(x)dx<+∞
39.一个函数, 它的 Maclaurin 级数处处收敛, 但仅在一点与这个函数相合
40.一个函数, 它的 Maclaurin 级数仅在一点收敛
第六章 一致收敛
0.引言
1.在各个E_k (k=1,2,cdots )上一致收敛, 而在∪ ∞_k=1E_k上不一致收敛的函数序列
2.一个在紧集上一致有界的连续函数序列, 而不存在逐点收敛的子列
3.一个一致有界且处处收敛的连续函数序列, 它没有一致收敛的子列
4.一个有界函数序列, 它处处收敛于一个无界函数
5.一个不一致有界的函数序列, 它处处收敛于一个有界函数
6.一个连续函数序列的非一致极限, 它在一个稠密集上无处连续
7.一个连续函数序列, 它的非一致极限也是一个连续函数
8.一个递减的连续函数序列, 它处处收敛于某个连续函数, 但并不一致收敛
9.一个无处连续的函数序列, 它一致收敛于一个处处连续的函数
10.收敛而无处一致收敛的连续函数序列
11.一个各项间断的函数项级数收敛于一个连续函数, 但无处一致收敛
12.一个正整数序列a_10,m(Icap Ec)> 15不可测集 16.一个两两不相交的集序列A_n,使m*(∪ ∞_n=1A_n)0, g'在[0,b]上并不(R)可积 30.一个同胚映射, 它把一个测度为零的集映成测度大于零的集 31.[0,1]上的一个严格递增的连续函数varphi 和集Asubset [0,1],使mA=0而mvarphi (A)= 32.对任一完备疏集Esubset [0,1],一个从[0,1]到[0,1]上的同胚映射f,使mf(E)= 33.可测的非 Borel 集 34.一个同胚映射, 它把一个可测集映成不可测集 35.一个 Borel 测度为零的集, 其中含有非 Borel 可测集 36.两个 Borel 可测集B_1,B_2,使得B_1-B_2=x-y:xin B_1,yin B_2 不是 Borel 可测的 37.两个同胚的实数集, 其中一个是第一纲集而另一个是第二纲集 38.两个同胚的实数集, 其中一个是稠密集而另一个是疏集 39.定义于R1上的一个几乎处处为零的函数, 它在每个非空开区间上的值域都是R 40.R1上的一个函数, 它的图形在平面内稠密 第八章 可测函数 0.引言 1.一个收敛的递增的简单函数序列, 其极限函数不是简单函数 2.一个非零函数, 它与任何函数之积恒为可测函数 3.一个不可测函数, 其绝对值是可测函数 4.一族可测函数, 其上确界函数并不可测 5.R1上的一个可测函数f, 使sup_tin R1 |f(x+t)-f(x-t)|不可测 6.一个在任何(L)正测度集上均非(L)可测的函数, 它在任何非空区间上取每个实数作为函数值可达aleph 次 7.函数f, 使对任意实数a, E[x:f(x)=a]恒为可测集, 而f在E上并不可测 8.可测函数f和连续函数g, 构成不可测的复合函数f° g 9.可测函数f和递增函数g, 构成不可测的复合函数f° g 10.[a,b]上的一个一致有界的不可测函数序列f_n, 使对任一不可数集Asubset [a,b],f_n 中不存在在A上收敛的子列 11.任给趋于零的数列alpha_n, 可构造一个有界可测函数f, 使f(x-alpha_n) 并不几乎处处收敛于f(x) 12. leavevmodecolorredEgorov 定理的结论不能加强为除掉一个测度为零的集外,f_n 一致收敛于f 13. R1上的一个函数序列, 使 leavevmodecolorredEgorov 定理不成立 14. 一个不可测函数序列, 使 leavevmodecolorredEgorov 定理不成立 15.一族函数f_t(x)(tgeqslant 2), 对每一固定的t, 它是x的可测函数, 而对每一固定的x, 它是t的可测函数, 且lim_tto +∞ f_t(x)=0, 但f_t(x) 并不近一致收敛 16.[0,1]上的一个连续函数, 它在[0,1]上几乎处处取有理数值, 而在任何非空子区间上均非常值函数 17.一个无处连续的可测函数, 不论怎样改变此函数在任何测度为零的集上的值, 它仍然是无处连续的 18.不能把 leavevmodecolorredLuzin 定理中的连续函数改为多项式 19.[0,+∞ )上的函数序列f_n 和g_n, 使f_n 和g_n 在[0,+∞ )上分别依测度收敛于f和g, 而f_ng_n 在[0,+∞ )上并不依测度收敛于fg 20.一个依测度收敛的可测函数序列varphi_n 和连续函数F, 而构成并不依测度收敛的复合函数序列F° varphi_n 21.一个无处连续的(L)可测函数, 它不是(B)可测的 22.两个函数仅在一个(B)测度为零的集上彼此相异, 其中一个(B)可测而另一个非(B)可测 23.不与第一类函数中的任何一个函数对等的可测函数 24.属于不同类的两个函数, 而有相同的间断点 25.一个F_σ 型集的特征函数, 它不是第一类函数 26.一个(R)可积函数, 它不是第一类的函数 27.不与(R)可积函数对等的有界可测函数 第九章 Lebesgue 积分 0.引言 1.[0,1]上的一个(L)可积函数f,使sum∞_n=1nm E[x:f(x)geqslant n]=+∞ 2.[0,+∞ )上的一个非负连续的(L)可积函数f,使lim_xrightarrow +∞ f(x)=0不成立 3.可测集E上的非负有界可测函数序列f_n,使lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_Ef_n(x)dx=0,而f_n 却无处收敛于零 4.[0,1]上的一个实值连续函数序列f_n,使f_1(x)geqslant f_2(x)geqslant cdots geqslant 0,且若有连续函数f适合f_n(x)geqslant f(x)geqslant 0 (n=1,2,cdots ),则f≡ 0.但lim_nrightarrow ∞ intop nolimits 1_0f_n(x)dx≠ 5.一个在E上并不依测度收敛于零的函数序列f_n,使对每一可测集esubset E,都有lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_ef_n(x)dx= 6.任给趋于零的数列a_n,可构造一个非负可测函数序列f_n,使sum∞_n=1a_nintop nolimits_Ef_n(x)dx收敛, 而f_n 在E上无处收敛于零 7.一个(L)可积函数f和有限个区间的并集I(n),使lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_I(n)f(x)qopname ocosnxdx≠ 8.(L)可积而不(R)可积的有界函数 9.广义(R)可积而不(L)可积的函数 10.(L)可积而不广义(R)可积的非负函数 11.任给非几乎处处有界函数f,可构造一个(L)可积函数g,使fg不(L)可积 12.[0,1]上的一个有界可测函数f,使对任何(R)可积函数g,都有intop nolimits_[0,1]|f(x)-g(x)|dx> 13.在每个子集上都(L)可积, 但在并集上并不(L)可积的函数 14.R1上的一个非负(L)可测函数f, 使对任何区间(a,b)(a0,但intop nolimits_R1f(x)dx≠+∞ 15.函数f,处处适合0≤ f(x)<+∞ ,但在每个非空开区间(a,b)上, intop nolimits b_af(x)dx=+∞ 16.任给fin L[a,b],可构造集Asubset [a,b],使mA=b-a,且对任一rin R1和任一xin A,都有lim_hrightarrow 0frac1hintop nolimits x+h_x|f(t)-r|dt=|f(x)-r| 17.[0,+∞ )上的一个非负的上半连续函数f,使intop nolimits +∞ _0f(x)dx=+∞ ,而对每一h>0,有sum∞_n=1f(nh)<+∞ 18.R1上的一个一致有界的(L)可测函数序列f_n,使对任何区间[a,b],f_n 中都不存在在[a,b]上几乎处处收敛的子列 19.Lebesgue 有界收敛定理中mE<+∞ 的条件不可去掉 20.Lebesgue 有界收敛定理中函数序列一致有界的条件不可去掉 21.Lebesgue 控制收敛定理中控制函数的可积性的条件不可去掉 22.Vitali 定理中mE<+∞ 的条件不可去掉 23.使 Fatou 引理中等号不成立的函数序列 24.一个变号的收敛可测函数序列, 使 Fatou 引理的结论不成立. 25.Levi 定理中函数序列非负性的条件不可去掉 26两个平方(L)可积的函数, 它们的和不是平方(L)可积的 27.一个非负函数f,使fin L2[1,+∞ ),但intop nolimits +∞ _1fracf(x)sqrtxdx=+∞ 28.不属于任何Lp(0,1)(p>0)的非负可测函数 29.属于Lp-delta (0,a)而不属于Lp(0,a)的非负可测函数, 其中0 0,p≠2)的非负可测函数 31.函数f和g,使intop nolimits_E|f(x)+g(x)|pdx1/ptmspace -thinmuskip.1667em>tmspace -thinmuskip.1667emintop nolimits_E|f(x)|pdx1/ptmspace -thinmuskip.1667em+tmspace -thinmuskip.1667emintop nolimits_E|g(x)|pdx1/p,这里, 0 <1. 32.连续单调函数g和连续函数f,适合intop nolimits 1_0f(x)dg(x)≠intop nolimits 1_0f(x)g'(x)dx 33.函数f与g,使f关于g是 Lebesgue-Stieltjes 可积而不是 Riemann-Stieltjes 可积 34.使lim_prightarrow +∞ ‖f‖_Lp(E)=‖f‖_L∞ (E) 不成立的函数f 35.L∞ (R1)中的一个函数f,使不存在R1上的连续函数序列f_n,适合lim_nrightarrow ∞ ‖f-f_n‖_L∞ (R1)= 36.R1上的一个非负(L)可积函数, 使对任何非空区间[a,b],它在[a,b]上都不是本性有界的 37.一个(L)可积函数, 它的某个近似连续点不是 Lebesgue 点 38.存在函数f,使f(x_0)是其不定积分在x_0的导数,但f在点x_0并不近似连续 第十章 不同意义收敛的函数序列 0.引言 1.几乎处处收敛与测度收敛之间的关系 2.近一致收敛与几乎处处收敛之间的关系 3.一致收敛与平均收敛之间的关系 4.几乎处处收敛与平均收敛互不蕴涵 5.几乎处处收敛与弱收敛互不蕴涵 6.测度收敛与弱收敛互不蕴涵 7.近一致收敛与平均收敛互不蕴涵 8.测度收敛而非近一致收敛的函数序列 9.弱收敛而非平均收敛的函数序列 10.r次幂平均收敛而不p(1≤ r0)阶 H"older 条件且不是有界变差的连续函数 6.在[0,1]上连续而在[0,1]的任一非空子区间上皆非有界变差的函数 7.在[0,1]上有界变差而在[0,1]的任一非空子区间上都不连续的函数 8.两个有界变差函数, 构成非有界变差的复合函数 9.两个皆非有界变差的函数, 构成有界变差的复合函数 10.一个有界变差函数序列, 其上确界函数并不有界变差 11.一个一致收敛的有界变差函数序列, 其极限函数并不有界变差 12.一个不是有界变差的函数序列, 却一致收敛于一个有界变差函数 13.一个有界变差函数序列, 它的任何子列都有不收敛的点 14.一个有界变差函数序列, 其全变差并不一致有界, 但有收敛的子列 15.任给不连续函数f， 可构造一个有界变差函数g, 使f关于g的积分intop nolimits_ab f(x)dg(x)不存在 16.任给全变差为无穷大的函数g, 可构造一个连续函数f, 使f关于g的积分intop nolimits_ab f(x)dg(x)不存在 17.一个一致收敛的有界变差的函数项级数, 而不能几乎处处逐项微分 18.一个可微的有界变差函数f, 使V(x)=intop nolimits_0x |f'(t)|dt不可微 19.[0,1]上的一个有界变差函数f, 使mathopV_01(f)≠intop nolimits_-∞ +∞ K(y)dy, 其中K(y)代表适合f(x)=y的x的个数 20.非常值的局部循环的无处单调的有界变差函数 21.[0,2π ]上的一个一致收敛于某个有界变差函数f的有界变差函数序列f_n, 使 lim_nto ∞ mathopV_02π (f_n)≠mathopV_02π (f) 22.[0,1]上的一个可微函数f, 使Z=x: f'(x)=0 及Zc均在[0,1]中稠密, 但f'在[0,1]上并不(L)可积 23.[0,1]上的一个可微函数f, 使f'有界且Z=x:f'(x)=0 及Zc在[0,1]内稠密,Z≠x:f' unhbox voidb@x hbox在 x unhbox voidb@x hbox连续 24.一个绝对连续函数f, 使|f|p (0 <1)不是绝对连续函数 25.一致连续而不绝对连续的函数 26.两个绝对连续函数, 构成不绝对连续的复合函数 27.两个皆非绝对连续的函数, 而构成绝对连续的复合函数 28.不满足某些 H"older 条件的绝对连续函数 29.无处单调的绝对连续函数 30.一个可微函数, 其导数在任何非空区间上(L)可积而不(R)可积 31.一个具有性质(N)的函数, 它不是绝对连续的函数 32.一个一致收敛的绝对连续函数序列, 其极限函数并不绝对连续 33.一个不是绝对连续的函数序列, 却一致收敛于一个绝对连续的函数 34.任给[0,1]中测度为零的集E, 可构造[0,1]上的一个不减的绝对连续函数f, 使对每一xin E, 都有f'(x)=+∞ 35.一个严格递增的连续函数, 它并不绝对连续 36.一个在[0,1]上严格递增的连续函数, 它在任何非空区间[α,β ]subset [0,1]上都不是绝对连续的 37.一个严格递增的绝对连续函数, 它把某个测度大于零的集映成测度等于零的集 38.一个严格递增的绝对连续函数, 其反函数并不绝对连续 第十二章 Fourier 级数 0.引言 1.Dini 判敛法和 Jordan 判敛法互不蕴涵 2.Young 判敛法与 Dini 判敛法互不蕴涵 3.Young 判敛法与 de la Vall'ee Poussin 判敛法互不蕴涵 4.Jordan 判敛法失效但能用 de la Vall'ee Poussin 判敛法的 Fourier 级数 5.Jordan 判敛法失效但能用 Young 判敛法的 Fourier 级数 6.Dini 判敛法失效但能用 de la Vall'ee Poussin 判敛法的 Fourier 级数 7.一个处处收敛的三角级数, 其和函数并不(L)可积 8.一个收敛的三角级数, 它不是某个(L)可积函数的 Fourier 级数 9.一个三角级数,它不是Fourier-Lebesgue级数,但却是Fourier-Stieltjes级数 10.任给趋于零的正数序列varepsilon_n, 可构造连续函数f,使f的 Fourier 系数有以下关系:|a_n|geqslant varepsilon_n或 |b_n|geqslant varepsilon_n对无穷多个n成立 11.一个(R)可积函数, 其 Fourier-Riemann 系数并不趋向于零 12.任给数列lambda_n,lim_nrightarrow ∞ lambda_n=+∞ ,lambda_n=o(n),可构造(R)可积函数f,它的 Fourier-Riemann 系数b_n>lambda_n对无穷多个n成立 13.一个连续函数f,使对任何varepsilon >0,级数sum∞_n=2(|a_n|2-varepsilon +|b_n|2-varepsilon )发散, 其中a_n,b_n是f的 Fourier 系数 14.Hα[0,2π ](0
