前辅文
第零章 复习和补充
0.0 记号. 复习
0.1 外代数
0.2 微分法
0.3 向量空间的开集上的微分形式
0.4 积分法
0.5 习题
第一章 微分方程
1.1 概述
1.2 不依赖时间的微分方程: 局部解的存在性
1.3 整体唯一性研究. 整体流
1.4 依赖时间的向量场. 依赖一个参数的向量场
1.5 唯一性和对于依赖时间的向量场的整体流
1.6 相关知识和线性方程
第二章 微分流形
2.1 $f R ^n$ 的子流形
2.2 抽象流形
2.3 态射
2.4 覆叠映射. 商
2.5 切空间
2.6 子流形, 浸入, 浸没, 嵌入
2.7 单位法丛. 管形
2.8 习题
第三章 单位分解. 密度. 曲线
3.1 紧致流形的嵌入
3.2 单位分解
3.3 流形上的密度
3.4 一维连通流形的分类
3.5 流形上的向量场和微分方程
3.6 习题
第四章 临界点
4.1 定义. 例子
4.2 数值函数的非退化临界点. 莫尔斯的简约
4.3 萨德定理
4.4 习题
第五章 流形上的微分法
5.1 丛 $it Lambda ^rT^st X$
5.2 流形上的微分形式
5.3 最大阶的微分形式和定向
5.4 德拉姆群
5.5 李导数
5.6 星形开集. 庞加莱引理
5.7 球面和射影空间的德拉姆群
5.8 环面的德拉姆群
5.9 习题
第六章 流形上的积分法
6.1 $d$ 维定向流形上 $d$ 阶微分形式的积分
6.2 斯托克斯定理
6.3 斯托克斯定理的第一批应用
6.4 欧几里得空间的定向子流形的典范体积形式
6.5 欧几里得空间的定向子流形的体积
6.6 欧几里得空间的子流形的典范密度
6.7 管形的体积 I: 体积形式的补充
6.8 管形的体积 II
6.9 管形的体积 III
6.10 习题
第七章 映射度理论
7.1 预备引理
7.2 德拉姆群 $R^d(X)$ 的确定
7.3 映射度
7.4 映射度对于同伦的不变性. 应用
7.5 管形的体积 (结尾)和高斯~-- 博内公式
7.6 属于 $C^0(S^1;S^1)$ 的映射的映射度
7.7 抽象流形上向量场的指标
7.8 习题
第八章 曲线的局部理论
8.0 引言
8.1 定义
8.2 仿射不变量: 切线, 密切平面, 凸性
8.3 长度. 欧几里得空间的曲线的弧长参数表示
8.4 欧几里得空间的曲线的曲率
8.5 在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率
8.6 欧几里得空间 (3 维的) 双正则曲线的挠率
8.7 习题
第九章 平面曲线的整体理论
9.1 定义
9.2 若尔当定理
9.3 等周不等式
9.4 平面曲线的回转数
9.5 切线回转定理
9.6 整体凸性
9.7 四顶点定理
9.8 法布里修斯 -- 布耶尔 -- 哈泊恩公式
9.9 习题
第十章 $f R ^3$~的曲面的局部理论的简短导引
10.1 定义
10.2 例子
10.3 曲面的两个基本形式
10.4 通过第一基本形式计算的量 (2 维黎曼几何)
10.5 高斯曲率
10.6 第二基本形式以及通过它计算的量
10.7 曲面的两个基本形式之间的关系
10.8 关于 $f R ^n+1 $ 中的超曲面
第十一章 曲面的整体理论的简短导引
第一部分 2 维整体黎曼流形
11.1 最短路径的整体问题
11.2 常曲率的曲面
11.3 度量性质: 一阶和二阶变分公式
11.4 最短路径的唯一性和单射半径
11.5 $Kgeqslant k$ 的流形
11.6 $Kleqslant k$ 的流形
11.7 高斯 -- 博内公式和霍普夫公式
11.8 曲面上的等周不等式
11.9 周期测地线和等收缩不等式
11.10 只有周期测地线的曲面
11.11 两部分间的过渡: 嵌入和浸入问题
第二部分 嵌入或浸入到~$f R ^3$ 内的曲面
11.12 零曲率的曲面
11.13 高斯曲率为正或零的曲面
11.14 唯一性和刚性
11.15 $K<0$ 的曲面
11.16 平均曲率为零的曲面, 又名极小曲面
11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面
11.18 魏因加滕曲面
11.19 作为平面族的包络的曲面: 公式和应用
11.20 对于曲面的等周不等式
11.21 花束: 球面和迪潘四次圆纹曲面的表征
参考文献
法中术语对照
索引
