前辅文
第1章 实分析和函数论: 快速回顾
引言
1.1 集合
1.2 映射
1.3 选择公理和Zorn 引理
1.4 集合R 和C 的构造
1.5 基数; 有限集和无限集
1.6 拓扑空间
1.7 拓扑空间中的连续性
1.8 拓扑空间中的紧性
1.9 拓扑空间中的连通和单连通性
1.10 距离空间
1.11 距离空间的连续性和一致连续性
1.12 完备距离空间
1.13 距离空间中的紧性
1.14 Rn 中的Lebesgue 测度; 可测函数
1.15 Rn 中的Lebesgue 积分; 基本定理
1.16 Rn 上Lebesgue 积分的变量代换
1.17 Rn 中的体积、面积和长度
1.18 空间Cm(Ω) 和Cm(Ω); Rn 中的域
第2章 赋范向量空间
引言
2.1 向量空间; Hamel 基; 向量空间的维数
2.2 赋范向量空间; 基本性质和例; 商空间
2.3 K 为紧集时的空间C(K; Y ); 一致收敛和局部一致收敛性
2.4 空间`p; 1 ⩽ p ⩽ ∞
2.5 Lebesgue 空间Lp(Ω); 1 ⩽ p ⩽ ∞
2.6 空间Lp(Ω) (1 ⩽ p < ∞) 的正则化与逼近
2.7 紧性和有限维赋范向量空间; FRiesz 定理
2.8 有限维赋范向量空间中紧性的应用; 代数学基本定理
2.9 赋范向量空间上的连续线性算子; 空间L(X; Y );L(X) 和X′
2.10 赋范向量空间上的紧线性算子
2.11 赋范向量空间上的连续多重线性映射; 空间Lk(X1; X2;…;Xk; Y )
2.12 Korovkin 定理
2.13 Korovkin 定理对多项式逼近的应用; Bohman 定理、Bernstein定理和Weierstrass 定理
2.14 Korovkin 定理应用于三角多项式逼近; Fejér 定理
2.15 Stone-Weierstrass 定理
2.16 凸集
2.17 凸函数
第3章 Banach 空间
引言
3.1 Banach 空间; 基本性质
3.2 Banach 空间的例子; 空间C(K; Y ), 其中K 为紧集,Y 完备, 和空间L(X; Y ), 其中Y 完备
3.3 取值于Banach 空间的单实变量连续函数的积分
3.4 Banach 空间的例: 空间`p 和Lp(Ω); 1 ⩽ p ⩽ ∞
3.5 赋范向量空间的对偶; 例; Lp(Ω)(1 ⩽ p < ∞) 中的FRiesz 表示定理
3.6 Banach 空间的级数
3.7 Banach 不动点定理
3.8 Banach 不动点定理的应用: 非线性常微分方程解的存在性;Cauchy-Lipschitz 定理; 单摆方程
3.9 Banach 不动点定理的应用: 非线性两点边值问题解的存在性
3.10 Ascoli-Arzelà 定理
3.11 Ascoli-Arzelà 定理的应用: 非线性常微分方程解的存在性;
Cauchy-Peano 定理; Euler 方法
第4章 内积空间和Hilbert 空间
引言
4.1 内积空间和Hilbert 空间; 基本性质; Cauchy-Schwarz-Bunyakovskiǐ 不等式; 平行四边形法则
4.2 内积空间和Hilbert 空间的例子; 空间`2 和L2(Ω)
4.3 投影定理
4.4 投影定理的应用: 线性系统的最小二乘解
4.5 直交性; 直和定理
4.6 Hilbert 空间中的FRiesz 表示定理
4.7 FRiesz 表示定理的应用: Hilbert 空间中的Hahn-Banach 定理;伴随算子; 再生核
4.8 内积空间的极大规范正交系
4.9 Hilbert 空间中的Hilbert 基和Fourier 级数
4.10 内积空间中的自伴算子的特征值和特征向量
4.11 紧自伴算子的谱定理
第5章 线性泛函分析中的重要定理
引言
5.1 Baire 定理; 首选应用: 多项式空间的不完备性
5.2 Baire 定理的应用: 连续而无处可微函数的存在性
5.3 Banach-Steinhaus 定理, 即一致有界性原理; 对数值求积公式的应用
5.4 Banach-Steinhaus 定理的应用: Lagrange 插值的发散性
5.5 Banach-Steinhaus 定理的应用: Fourier 级数的发散
5.6 Banach 开映射定理; 首选应用: 两点边值问题的适定性
5.7 Banach 闭图像定理; 首选应用: Hellinger-Toeplitz 定理
5.8 向量空间中的Hahn-Banach 定理
5.9 赋范向量空间的Hahn-Banach 定理; 第一个推论
5.10 Hahn-Banach 定理的几何形式: 凸集的分离
5.11 对偶算子; Banach 闭值域定理
5.12 弱收敛和弱∗ 收敛
5.13 Banach-Saks-Mazur 定理
5.14 自反空间; Banach-Eberlein-Šmulian 定理
第6章 线性偏微分方程
引言
6.1 二次极小化问题; 变分方程和变分不等式
6.2 Lax–Milgram 引理
6.3 Lloc(Ω) 中的弱偏导数; 分布论简介
6.4 Δ 的次椭圆性
6.5 Sobolev 空间Wm,p(Ω) 及Hm(Ω): 基本性质
6.6 关于区域Ω 的Sobolev 空间Wm,p(Ω) 和Hm(Ω): 嵌入定理, 迹,Green 公式
6.7 二阶线性椭圆边值问题的例; 薄膜问题
6.8 四阶线性边值问题的实例; 重调和与板问题
6.9 与变分不等式相应的非线性边值问题的实例; 障碍问题
6.10 二阶椭圆算子的特征值问题
6.11 空间W−m,q(Ω) 与H−m(Ω); JLLions 引理
6.12 Babuška-Brezzi 上下确界定理; 对有约束二次极小化问题的应用
6.13 Babuška-Brezzi 上下确界定理的应用: 变分问题的原始, 混合及对偶形式
6.14 Babus̆ka-Brezzi 上下确界定理及JLLions 引理的应用: Stokes方程组
6.15 JLLions 引理的第二个应用: Korn 不等式
6.16 Korn 不等式的应用: 三维线性化弹性方程组
6.17 经典Poincaré 引理, 及其作为JLLions 引理和Δ 次椭圆性应用的弱形式
6.18 Poincaré 引理的应用: 经典的和弱Saint-Venant 引理; Cesàro-Volterra 路径积分公式
6.19 JLLions 引理的另一个应用: Donati 引理
6.20 Pfaff 方程组
文献注释
参考文献
主要符号
索引
