本书简明介绍了 20 世纪数学的六个精选领域，这些领域提供的许多现代数学工具被应用于计算机科学、工程和其他领域的当代研究。这六个领域包括测度论、高维几何、傅里叶分析、群的表示、多元多项式和拓扑。对每个领域，作者都介绍了基本概念、示例和重要结果。本书清晰易懂，强调直观理解，并包括精心挑选的练习。在理论计算机科学和离散数学中，理论与应用是相辅相成的——有些应用相当令人惊讶。各章相互独立，读者可以按任何顺序学习。 本书假设读者已经完成了基础数学课程。尽管本书是作者在教授博士生理论计算机科学和离散数学时构思的，但它适合更广泛的读者阅读，例如其他研究方向的数学家、决心深入钻研的数学专业学生，或者工程及其他领域的专家。 本书包含六章，可以独立阅读，每章研究一个数学论题……写得很用心，比讲义集要好。这样的书是学生所需要的，可以作为标准教科书的补充，展示了古典数学的更多特殊应用。希望有更多这样的书。 —Athanase Papadopoulos, ZMATH 本书源于作者教授计算机科学研究生的经验，这些研究生需要某些数学主题的背景知识。由于这些学生所学的基础课程没有涵盖这些主题，因此作者决定在横跨几个学期的课程中介绍它们，并适当扩展其讲义，最终形成本书……我喜欢阐释性的书籍，因为我认为，特别是在专业化程度日益提高的今天，它们十分有用，不仅适用于学生，也适用于专业人士，这些专业人士想要了解其他领域正在发生的事情，或者需要一个领域的背景知识来研究另一个领域。本书就是这类书籍的一个很好的代表。 —Mark Hunacek, MAA Reviews

前辅文
Chapter 1. Measure and Integral
  §1. Measure
  §2. The Lebesgue Integral
  §3. Foundations of Probability Theory
  §4. Literature
  Bibliography
Chapter 2. High-Dimensional Geometry and Measure Concentration
  §1. Peculiarities of Large Dimensions
  §2. The Brunn–Minkowski Inequality and Euclidean Isoperimetry
  §3. The Standard Normal Distribution and the Gaussian Measure
  §4. Measure Concentration
  §5. Literature
  Bibliography
Chapter 3. Fourier Analysis
  §1. Characters
  §2. The Fourier Transform
  §3. Two Unexpected Applications
  §4. Convolution
  §5. Poisson Summation Formula
  §6. Influence of Variables
  §7. Infinite Groups
  §8. Literature
  Bibliography
Chapter 4. Representations of Finite Groups
  §1. Basic Definitions and Examples
  §2. Decompositions into Irreducible Representations
  §3. Irreducible Decompositions, Characters, Orthogonality
  §4. Irreducible Representations of the Symmetric Group
  §5. An Application in Communication Complexity
  §6. More Applications and Literature
  Bibliography
Chapter 5. Polynomials
  §1. Rings, Fields, and Polynomials
  §2. The Schwartz–Zippel Theorem
  §3. Polynomial Identity Testing
  §4. Interpolation, Joints, and Contagious Vanishing
  §5. Varieties, Ideals, and the Hilbert Basis Theorem
  §6. The Nullstellensatz
  §7. B´ezout’s Inequality in the Plane
  §8. More Properties of Varieties
  §9. B´ezout’s Inequality in Higher Dimensions
  §10. Bounding the Number of Connected Components
  §11. Literature
  Bibliography
Chapter 6. Topology
  §1. Topological Spaces and Continuous Maps
  §2. Bits of General Topology
  §3. Compactness
  §4. Homotopy and Homotopy Equivalence
  §5. The Borsuk–Ulam Theorem
  §6. Operations on Topological Spaces
  §7. Simplicial Complexes and Relatives
  §8. Non-embeddability
  §9. Homotopy Groups
  §10. Homology of Simplicial Complexes
  §11. Simplicial Approximation
  §12. Homology Does Not Depend on Triangulation
  §13. A Quick Harvest and Two More Theorems
  §14. Manifolds
  §15. Literature
  Bibliography
Index